解法一:(1)连接OC, ∵△ABD和△CBD为等边三角形,O为BD的中点, ∴AO⊥BD,CO⊥BD,又AB=2,AC=, ∴AO= CO=.…………………………3分 在△AOC中,∵AO2+ CO2= AC2, ∴∠AOC=90o,即AO⊥OC. ∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.………………4分 (2)过O作OE⊥BC于E,连接AE,∵AO⊥平面BCD, ∴AE在平面BCD上的射影为OE,∴AE⊥BC, ∴∠AEO为二面角A—BC—D的平面角.………………6分 在Rt△AEO中,AO=,OE=, tan∠AEO==2,cos∠AEO=, ∴二面角A—BC—D的余弦值为.……………………8分 (3)设点O到平面ACD的距离为h. ∵VO—ACD= VA—OCD,∴S△ACD·h—=S△OCD·AO. 在△ACD中,AD= CD=2,AC=, S△ACD=·. 而AO=,S△OCD=, ∴, ∴点O到平面ACD的距离为.…………………………12分 解法二:(1)同解法一.……………………………………4分 (2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则…………5分 ∵AO⊥平面BCD, ∴平面BCD的法向量=(0,0,)…………6分 设平面ABC的法向量n=(x,y,z), =(0,-1,-),=(,1,0). 由 n=(1,-,1). 设n与的夹角为,则|cos|==, ∴二面角A—BC—D的余弦值为.…………………………8分 (3)设平面ACD的法向量m=(x,y,z), 又与m的夹角为,则|cos|==. 设点O到平面ACD的距离为h, ∵h=, ∴点O到平面ACD的距离为.…………………………12分 |