已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点(1)求证:直线AF∥

已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点(1)求证:直线AF∥

题型:不详难度:来源:
已知三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=2,AA1=4,E为AA1的中点,F为BC的中点
(1)求证:直线AF平面BEC1
(2)求A到平面BEC1的距离.
答案
(1)取BC1的中点H,连接HE、HF,
则△BCC1中,HFCC1且HF=
1
2
CC1
又∵平行四边形AA1C1C中,AECC1且AE=
1
2
CC1
∴AEHF且AE=HF,可得四边形AFHE为平行四边形,
∴AFHE,
∵AF⊄平面REC1,HE⊂平面REC1
∴AF平面REC1.…(6分)
(2)等边△ABC中,高AF=


3
2
AB
=


3
,所以EH=AF=


3

由三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,得C1到平面AA1B1B的距离等于


3

∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE,∴EC1=EB,得EH⊥BC1
可得SBEC1=
1
2
BC1•EH=
1
2
×


42+22
×


3
=


15

而S△ABE=
1
2
AB×BE=2
由等体积法得VA-BEC1=VC1-BEC
1
3
SBEC1×d=
1
3
S△ABE×


3
,(d为点A到平面BEC1的距离)
1
3
×


15
×d=
1
3
×2×


3
,解之得d=
2


5
5

∴点A到平面BEC1的距离等于
2


5
5
.…(12分)
举一反三
空间四边形ABCD中,E、F、G、H顺次为边AB、BC、CD、DA的重点,且EG=3,FH=4,则AC2+BD2=______.
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如图四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=


2

(1)求证:直线BD⊥平面AOC
(2)求点E到平面ACD的距离.
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在空间直角坐标系中,某一定点到三个坐标轴的距离都是2,那么该定点到原点的距离为______.
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在120°的二面角α-l-β内有一点P,P在平面α、β内的射影A、B分别落在半平面αβ内,且PA=3,PB=4,则P到l的距离为______.
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已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且分别长为2、4、4,则顶点P到面ABC的距离为______.
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