已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线AB与平面BDA1所成角的正弦值等于______.

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题型:不详难度:来源:
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线AB与平面BDA1所成角的正弦值等于______.
答案
设AC∩BD=O,AB=a,
则 BD=


2
a,A1O=


AO2+A1A2
=


6
2
a;
过A作AH⊥平面BDA1于点H,则∠BAH直线AB与平面BDA1所成角;
VA1-ABD=VA-A1BD
1
3
A1A•S△ABD=
1
3
•AH•S△A1BD=
1
3
•AH•
1
2
×BD×A1O;
1
3
•a×
1
2
×a×a=
1
3
•AH•
1
2
×


2


6
2
a
∴AH=


3
3
a,
在RT△ABH中,cos∠AHB=
AH
AB
=


3
3
a
a
=


3
3

∴sin∠AHB=


1-cos2∠AHB
=


6
3

即直线AB与平面BDA1所成角的正弦值等于:


6
3

故答案为:


6
3

举一反三
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中E为AB的中点.
(1)求直线A1C1与平面A1B1CD所成角大小;
(2)试确定直线BC1与平面EB1D的位置关系,并证明你的结论;
(3)证明:平面EB1D⊥平面B1CD.
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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为AA1、BB1的中点.
求:(1)CM与D1N所成角的余弦值.
(2)D1N与平面MBC所成角的余弦值.
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如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F.
(Ⅰ)求证:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求A1B与平面BDE所成的角的正弦值.
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是______.
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已知四面体ABCD的六条棱长都是1,则直线AD与平面ABC的夹角的余弦值为______.
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