法一(几何法): 证明:(1)∵AC=BC=a ∴△ACB是等腰三角形, 又D是AB的中点∴CD⊥AB, 又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB 于是AB⊥平面VCD. 又AB⊂平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD (2)过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H,连接BH 则由(1)知AB⊥CH,∴CH⊥平面VAB 于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角. 在Rt△CHD中,CD=a,CH=asinθ; 设∠CBH=φ,在Rt△BHC中,CH=asinφ∴sinθ=sinφ∵0<θ<∴0<sinθ<1,0<sinφ<
又0≤φ≤,∴0<φ< 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,). 法二(向量法): 证明:(1)以CA,CB,CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D(,,0),V(0,0,atanθ), 于是,=(,,-atanθ),=(,,0),=(-a,a,0). 从而•=(-a,a,0)•(,,0)=-a2+a2+0=0,即AB⊥CD. 同理•=(-a,a,0)•(,,-atanθ)=-a2+a2+0=0, 即AB⊥VD.又CD∩VD=D,∴AB⊥平面VCD. 又AB⊂平面VAB.∴平面VAB⊥平面VCD. (2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ,平面VAB的一个法向量为n=(x,y,z), 则由n•=0,n•=0. 得 可取n=(1,1,cotθ),又=(0,-a,0), 于是sinφ=||==sinθ, ∵0<θ<,∴0<sinθ<1,0<sinφ<. 又0≤φ≤,∴0<φ<. 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,). |