等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为______.

等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为______.

题型:不详难度:来源:
等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为______.
答案
设AC=a,因为三角形ABC等腰直角三角形,所以AB=


2
a

因为CM是斜边上的中线,
所以CM=


2
a
2


魔方格

过点C作CO⊥α,交α于点O,连接OA,OM,所以OC⊥OA,OC⊥OM,
所以AC与α所成角为∠CAO并且等于30°,MC与α所成角为∠CMO.
因为在△ACO中,AC=a,∠CAO=30°,OC⊥OA,
所以OC=
a
2

又因为在△COM中有OC⊥OM,CM=


2
a
2

所以sin∠CMO=
OC
CM
=
a
2


2
a
2
=


2
2

所以∠CMO=45°.
故答案为:45°.
举一反三
如图,正方形ABCD所在平面与正方形ACEF所在平面垂直.
(1)求证:BD⊥平面ACEF;
(2)求直线DE与平面ACEF所成角的正弦值.魔方格
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在直二面角α-PQ-β中,直角三角形ABC在面α内,斜边AB在棱PQ上,若AC与面β成30°的角,则BC与面β所成角为(  )
A.30°B.45°C.60°D.60°或120°
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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1直线AD1平面A1C1的夹角为(  )
A.30°B.45°C.90°D.60°
魔方格
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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,A1A=2,点F是棱BC的中点,点E在棱C1D1上,且D1E=λEC1(λ为实数).
(1)求二面角D1-AC-D的余弦值;
(2)当λ=
1
3
时,求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小;
(3)求证:直线EF与直线EA不可能垂直.魔方格
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如图,已知点P是正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,PA=AB,点E、F分别在线段PB、AC上,满足BE=CF.
(1)求PD与平面ABCD所成的角的大小;
(2)求平面PBD与平面ABCD所成角的正切值.
(3)求证:EF⊥CD.魔方格
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