如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l 上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=2,求:(Ⅰ) 直线AB分别与平

如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l 上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=2,求:(Ⅰ) 直线AB分别与平

题型:不详难度:来源:
如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l 上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=


2
,求:
(Ⅰ) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的余弦值.魔方格
答案

魔方格
(Ⅰ)如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,
∴AA1⊥β,BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中,BB1=


2
,AB=2,∴sin∠BAB1=
BB1
AB
=


2
2
.∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1=
AA1
AB
=
1
2
,∴∠ABA1=30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.           
(Ⅱ)∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,
则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=


2
.∴Rt△AA1B中,A1B=


AB2-AA12
=


4-1
=


3
. 由AA1•A1B=A1F•AB得 A1F=
AA1•A1B
AB
=


3
2
=


3
2

∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE=
A1E
A1F
=


6
3
,∴二面角A1-AB-B1的余弦值是


3
3
举一反三
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M,
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线PC与平面ABM所成的角;
(3)求点O到平面ABM的距离.魔方格
题型:江西难度:| 查看答案
如图,在棱长为ɑ 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是CB.CD.CC1的中点.
(1)求直线 A1C与平面ABCD所成角的正弦的值;
(2)求证:平面A B1D1平面EFG.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,正△ABS所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,则直线SC与平面ABS所成的角为______.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
在正方体ABCD-A′B′C′D′中,直线AC′与平面ABCD所成角的正弦值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在正三棱锥P-ABC中,M、N分别是侧棱PB、PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是.
A.


3
2
B.


2
C.


5
2
D.


6
3
魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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