如图,在正三棱锥P-ABC中,M、N分别是侧棱PB、PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是.A.32B.2C.52D.63
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如图,在正三棱锥P-ABC中,M、N分别是侧棱PB、PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是.A.32B.2C.52D.63
题型:不详
难度:
来源:
如图,在正三棱锥P-ABC中,M、N分别是侧棱PB、PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是.
A.
3
2
B.
2
C.
5
2
D.
6
3
答案
如图,设D为BC中点,则 PD⊥BC,PD⊥MN,垂足为E,E为MN中点.又面AMN⊥面PBC,则 PE⊥面AMN,PE⊥AE.
设底面边长为2,侧棱长为a,在△PBC中,PD
2
=a
2
-1,PE
2
=
1
4
PD
2
=
a
2
-1
4
,ME=
1
2
MN=
1
2
.
在△PAB中,由余弦定理,cos∠APB=
SA
2
+
SB
2
-
AB
2
2SB×SA
=
SA
2
+
SM
2
-
AM
2
2SM×SA
,代入数据化简得
a
2
-2
a
2
=
5
4
a
2
-
AM
2
a
2
,AM
2
=
a
2
4
+2
,
在△PAE中,由勾股定理,得出 PA
2
=AE
2
+PE
2
=AM
2
-ME
2
+PE
2
,即a
2
=
a
2
4
+2
-
1
4
+
a
2
-1
4
,解得a
2
=3,a=
3
设O为底面△ABC中心,连接OB,则∠PBO为三棱锥的侧棱PB与底面所成角,
在△POB中,BO=
2
3
3
,由勾股定理,PO
2
=PB
2
-BO
2
=
5
3
,PO=
15
3
,所以tan∠PBO=
PO
BO
=
5
2
,
三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是
5
2
.
故选C.
举一反三
如图,正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长为1,侧棱长为2,E、F、G分别CC
1
、DD
1
、AA
1
中点.
①求证:A
1
F⊥面BEF;②求证:GC
1
∥
面BEF;③求直线A
1
B与面BEF所成的角.
题型:不详
难度:
|
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有一块直角三角板,∠A=30°,∠C=90°,BC边在桌面上,当三角板所在平面与桌面成45°角时,AB边与桌面所成角等于( )
A.
arcsin
6
4
B.
π
6
C.
π
4
D.
arccos
10
10
题型:孝感模拟
难度:
|
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正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,对角线BD
1
=8,BD
1
与侧面BC
1
所成的角为30°,则BD
1
和底面ABCD所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PD=AD,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD.
(1)求作平面PAD与平面PBC的交线,并加以证明;
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值;
(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值.
题型:不详
难度:
|
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在长方体BCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是棱BC,CC
1
上的点,CF=AB=2CE,AB:AD:AA
1
=1:2:4
(1)求异面直线EF与A
1
D所成角的余弦值;
(2)求二面角A
1
-ED-F的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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