在长方体BCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB:AD:AA1=1:2:4(1)求异面直线EF与A1D所成角的余
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在长方体BCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB:AD:AA1=1:2:4(1)求异面直线EF与A1D所成角的余
题型:不详
难度:
来源:
在长方体BCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是棱BC,CC
1
上的点,CF=AB=2CE,AB:AD:AA
1
=1:2:4
(1)求异面直线EF与A
1
D所成角的余弦值;
(2)求二面角A
1
-ED-F的正弦值.
答案
如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设AB=1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),A
1
(0,0,4),E(1,
3
2
,0),
(1)易得
EF
=(0,
1
2
,1),
A
1
D
=(0,2,-4),于是cos<
EF
,
A
1
D
>=
EF
•
A
1
D
|
EF
||
A
1
D
|
=-
3
5
,
所以异面直线EF与A
1
D所成角的余弦值为
3
5
.
(2)设平面EFD的法向量
n
=(x,y,z),则
n
•
EF
=
1
2
y
+z=0,且
n
•
ED
=-x+
1
2
y
=0,
不妨令x=1,可得
n
=(1,2,-1),
设平面A
1
ED的法向量
m
=(m,n,p)则
m
•
ED
=-m+
1
2
n
=0且
m
•
D
A
1
=-2n+4p=0,
取p=1,则n=2,m=1,则
m
=(1,2,1),
于是cos<
n
,
m
>=
n
•
m
|
n
||
m
|
=
2
3
,从而sin<
n
,
m
>=
5
3
,
所以二面角A
1
-ED-F的正弦值为
5
3
.
举一反三
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AC,PA⊥AB,PA=AB,
∠ABC=
π
3
,
∠BCA=
π
2
,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE
∥
BC,
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=BC=2,A
1
D与BC
1
所成角为90°,则直线BC
1
与平面BB
1
D
1
D所成角的大小为______.
题型:不详
难度:
|
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等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为______.
题型:不详
难度:
|
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如图,正方形ABCD所在平面与正方形ACEF所在平面垂直.
(1)求证:BD⊥平面ACEF;
(2)求直线DE与平面ACEF所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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在直二面角α-PQ-β中,直角三角形ABC在面α内,斜边AB在棱PQ上,若AC与面β成30°的角,则BC与面β所成角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.60°或120°
题型:不详
难度:
|
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