(解法一):(1)∵PA⊥AC,PA⊥AB,AC∩AB=A, ∴PA⊥底面ABC, ∴PA⊥BC.又∠BCA=90°, ∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC.(4分) (2)∵D为PB的中点,DE∥BC, ∴DE=BC, 又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC,垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角, ∵PA⊥底面ABC, ∴PA⊥AB,又PA=AB, ∴△ABP为等腰直角三角形, ∴AD=AB, ∴在Rt△ABC中,∠ABC=60°, ∴BC=AB. ∴在Rt△ADE中,sin∠DAE===, ∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是.(12分) (解法二):如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,设PA=a, 由已知可得P(0,0,a),A(0,0,0),B(-a,a,0),C(0,a,0). (1)∵=(0,0,a),=(a,0,0), ∴•=0, ∴BC⊥AP. 又∵∠BCA=90°, ∴BC⊥AC, ∴BC⊥平面PAC.(4分) (2)∵D为PB的中点,DE∥BC, ∴E为PC的中点, ∴D(-a,a,a),E(0,a,a), ∴又由(1)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC,垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角, ∵=(-a,a,a),=(0,a,a), ∴cos∠DAE==,sin∠DAE==. ∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.(12分) |