如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△P

题型：茂名二模难度：来源：

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
（1）求证：BD⊥平面POA
（2）设AO∩BD=H，当O为CH中点时，若点Q满足

AQ

=

QP

，求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值．

答案

（1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）由（1）可知：AC⊥BD，
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2

3

．
∵O为CH的中点，∴PO=

3

．
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz．

则O（0，0，0），A(3

3

，0，0)，
B(

3

，2，0)，D(

3

，-2，0)，P(0，0，

3

)．
∴

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)．
由

AQ

=

QP

，得Q为AP的中点．
∴Q(

3 3

2

，0，

3

2

)．∴

OQ

=(

3 3

2

，0，

3

2

)．
设平面PBD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • PB =0 n • BD =0

得

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

，取x=1，得y=0，z=1．
∴

n

=(1，0，1)．
设直线OQ与平面PBD所成的角为θ．
则sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

| n • OQ |

| n | | OQ |

=

| 3 3 2 + 3 2 |

( 3 3 2 )2+( 3 2 )2

=

2 5

5

．
因此直线OQ与平面PBD所成的角的正弦值为

2 5

5

．