(理)如图,在矩形ABCD中,AB=33,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C",且C"在平面ABD的射影O恰好在AB上.(1)求证:BC"⊥面

(理)如图,在矩形ABCD中,AB=33,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C",且C"在平面ABD的射影O恰好在AB上.(1)求证:BC"⊥面

题型:宁波模拟难度:来源:
(理)如图,在矩形ABCD中,AB=3


3
,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C",且C"在平面ABD的射影O恰好在AB上.
(1)求证:BC"⊥面ADC";
(2)求二面角A-BC"-D的大小;
(3)求直线AB和平面BC"D所成的角.魔方格
答案

魔方格
(理)(1)∵DA⊂平面ABD,
AB是BC‘在平面ABD内的射影,
DA⊥AB,
∴DA⊥BC’,BC‘⊥DC’,
∴BC‘⊥平面ADC’.…(4分)
(2)∵BC"⊥平面ADC",





BC′⊥C′D
BC′⊥C′A

∴∠DC"A是二面角A-BC"-D的平面角…(6分)
∵BC‘⊥平面ABC’,
∴DA⊥BC‘,DA⊥AB,
∴DA⊥面ABC",
∴DA⊥AC’.…(7分)
在Rt△AC"D中,sin∠DC"A=
DA
C′D
=
3
3


3
=


3
3

所以,二面角A-BC"-D的大小为arcsin


3
3
.…(8分)
(3)作AM⊥DC"于M,连接BM,
∵BC‘⊥面ADC’,
∴面ADC‘⊥面BDC’,
∵AM⊥DC‘,
∴AM⊥面BC"D,
∴∠ABM是AB与平面BC"D所成的角,…(10分)
在Rt△DAC"中,AM•DC"=AD•AC",
∴AM=
AD•AC′
DC′
=
3•3


2
3


3
=


6
,…(11分)
在Rt△ABM中sin∠ABM=
AM
AB
=


6
3


3
=


2
3

所以,AB与平面BC"D所成的角为arcsin


2
3
.…(12分)
举一反三
(文)如图,在矩形ABCD中,AB=3


3
,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C",且C"在平面ABD的射影O恰好在AB上,则以C",A,B,D为顶点,构成一个四面体.
(1)求证:BC"⊥面ADC";
(2)求二面角A-BC"-D的正弦值;
(3)求直线AB和平面BC"D所成的角的正弦值.
题型:宁波模拟难度:| 查看答案
如图,∠C=90°,AC=BC,M,N分别为BC和AB的中点,沿直线MN将△BMN折起,使二面角B′-MN-B为60°,则斜线B"A与平面ABC所成角的正切值为(  )
A.


2
5
B.


3
5
C.
4
5
D.
3
5
魔方格
题型:江西模拟难度:| 查看答案
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,则D1O与平面ADD1A1所成的角的余弦值为(  )
A.


5
5
B.


6
6
C.


3
2
D.


30
6
魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD中,AB⊥AD,BCAD,PA=AB=BC=2,AD=4,E为PD的中点,F为PC中点.
(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求证:BF平面ACE;
(Ⅲ)求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值.魔方格
题型:河东区一模难度:| 查看答案
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.
(I)求证:A1O⊥平面ABC;
(Ⅱ)若E为BC1的中点,求证:OE平面A1AB;
(III)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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