如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.(I)求证:A1O⊥平面A

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.(I)求证:A1O⊥平面A

题型:不详难度:来源:
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.
(I)求证:A1O⊥平面ABC;
(Ⅱ)若E为BC1的中点,求证:OE平面A1AB;
(III)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值.魔方格
答案

魔方格
(Ⅰ)证明:因为A1A=A1C,且O为AC的中点,
所以A1O⊥AC.
又由题意可知,平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O⊂平面AA1C1C,
所以A1O⊥平面ABC;
(Ⅱ)证明:以O为原点,OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又AB=BC,AB⊥BC,∴OB=
1
2
AC=1,
所以得:O(0,0,0),A(1,0,0),A1(0,0,


3
),C1(-2,0,


3
),E(-1,
1
2


3
2

则有:


AA1
=(-1,0,


3
),


AB
=(-1,1,0),


OE
=(-1,
1
2


3
2

设平面A1AB的法向量为


n
=(x0,y0,z0),则由







n


AA1
=0


n


AB
=0
,可得





-x0+


3
z0=0
-x0+y0=0

故可取


n
=(


3


3
,1)



OE


n
=0

∵OE⊄平面A1AB
∴OE平面A1AB;
(III)∵C(-1,0,0),∴


A1C
=(-1,0,-


3

∵平面AA1B的一个法向量为


n
=(


3


3
,1)

|cos<


n


A1C
|=|
-


3
+0-


3


7
×2
|=


21
7

∵因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量


n


A1C
所成锐角互余,
∴sinθ=


21
7
举一反三
如图(图1)等腰梯形PBCD,A为PD上一点,且AB⊥PD,AB=BC,AD=2BC,沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为60°的二面角,连接PC、PD,在AD上取一点E使得3AE=ED,连接PE得到如图(图2)的一个几何体.
魔方格

(1)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.
题型:不详难度:| 查看答案

魔方格
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC⊥平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦;
(3)求二面角B-EF-A的余弦.魔方格
题型:韶关二模难度:| 查看答案
如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,点D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O,沿EF将△CEF折起到△PEF的位置,使得平面PEF⊥平面ABFED
(1)求证:BD⊥平面POA
(2)设AO∩BD=H,当O为CH中点时,若点Q满足


AQ
=


QP
,求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值.

魔方格
题型:茂名二模难度:| 查看答案
等边三角形ABC的边长为3,点D、E分别是边AB、AC上的点,且满足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
(如图1).将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使二面角A1-DE-B成直二面角,连结A1B、A1C (如图2).

魔方格

(1)求证:A1D丄平面BCED;
(2)在线段BC上是否存在点P,使直线PA1与平面A1BD所成的角为600?若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由.
题型:广州二模难度:| 查看答案
如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(I)证明:AC⊥B1D;
(II)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.魔方格
题型:湖南难度:| 查看答案
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