(1)证明:在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°,∠ABD=90° 即AB⊥BD(2分) 在图乙中,∵平面ABD⊥平面BDC,且平面ABD∩平面BDC=BD ∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥CD.(4分) 又∠DCB=90°,∴DC⊥BC,且AB∩BC=B ∴DC⊥平面ABC.(5分) (2)解法1:∵E、F分别为AC、AD的中点 ∴EF∥CD,又由(1)知,DC⊥平面ABC, ∴EF⊥平面ABC,垂足为点E ∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角(7分) 在图甲中,∵∠ADC=105°,∴∠BDC=60°,∠DBC=30° 设CD=a则BD=2a,BC=a,BF=BD=2a,EF=CD=a-(9分)
∴在Rt△FEB中,sin∠FBE=== 即BF与平面ABC所成角的正弦值为.(10分) 解法2:如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示, 设CD=a,则BD=AB=2a,BC=a,AD=2a(6分) 可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),C(a,a,0),F(a,0,a), ∴=(a,-a,0),=(a,0,a)(8分) 设BF与平面ABC所成的角为θ 由(1)知DC⊥平面ABC ∴cos(-θ)=== ∴sinθ=(10分) (3)由(2)知FE⊥平面ABC, 又∵BE⊂平面ABC,AE⊂平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE, ∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角(12分) 在△AEB中,AE=BE=AC==a ∴cos∠AEB==- 即所求二面角B-EF-A的余弦为-.(14分)(其他解法请参照给分) |