(Ⅰ)证明:因为PA⊥底面ABCD,CD⊂面ABCD,所以PA⊥CD, 又因为直角梯形ABCD中,AC=2,CD=2, 所以AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD, 又PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC;…(4分) (Ⅱ)解法一:如图,连接BD,交AC于O,取PE中点G,连接BG,FG,EO,则在△PCE中,FG∥CE, 又EC⊂平面ACE,FG⊄平面ACE,所以FG∥平面ACE, 因为BC∥AD,所以=,则OE∥BG, 又OE⊂平面ACE,BG⊄平面ACE,所以BG∥平面ACE, 又BG∩FG=G,所以平面BFG∥平面ACE, 因为BF⊂平面BFG,所以BF∥平面ACE.…(10分) 解法二:如图,连接BD,交AC于O,取PE中点G, 连接FD交CE于H,连接OH,则FG∥CE, 在△DFG中,HE∥FG,则==, 在底面ABCD中,BC∥AD,所以==, 所以==,故BF∥OH,又OH⊂平面ACE,BF⊄平面ACE, 所以BF∥平面ACE.…(10分) (Ⅲ)由(Ⅰ)可知,CD⊥平面PAC,所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角, 在Rt△PCD中,CD=2,PD==2, 所以sin∠DPC===, 所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为.…(14分) |