如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:△PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面A

如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:△PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面A

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如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
(1)证明:△PBC是直角三角形;
(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角正切值为


2
时,直线AB与平面PBC所成角的正弦值.魔方格
答案
(1)证明:∵C在圆O上,∴BC⊥AC,
∵PA⊥平面
魔方格
ABC,∴BC⊥PA,
∵PC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥PC,∴△BPC是直角三角形.
(2)如图,过A作AH⊥PC于H,
∵BC⊥平面PAC,∴BC⊥AH,
∴AH⊥平面PBC,则∠ABH就是要求的角.…(8分)
∵PA⊥平面ABC,∴∠PCA是PC与平面ABC所成角,…(9分)
∵tan∠PCA=
PA
AC
=


2
,又PC=2,∴AC=


2
.…(10分)
∴在Rt△PAC中,AH=
PA?AC


PA2+AC2
=
2
3


3
,…(11分)
∴在RtABH中,sin∠ABH=
2
3


3
2
=


3
3

故AC与平面PBC所成角正弦值为


3
3
.…(12分)
举一反三
已知∠ACB=90°,S为平面ABC外一点,且∠SCA=∠SCB=60°,则直线SC和平面ABC所成的角为______.
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若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a的正方体的全面积相等,那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为(  )
A.


3
3
B.


3
6
C.


13
13
D.


26
26
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如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,E、F为线段AC、AB上的点,EFBC,将△AEF沿直线EF翻折成△A"EF,使平面A"EF⊥平面BCE,且T为A"B中点,FT平面△A"EC
(1)问E点在什么位置?并说明理由;
(2)求直线FC与平面A"BC所成角的正弦值.魔方格
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如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直,E是BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为______.魔方格
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若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内不经过斜足的直线所成角中最大角等于(  )
A.72°B.90°C.108°D.180°
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