如图,已知圆O的直径AB长度为4,点D为线段AB上一点,且AD=13DB,点C为圆O上一点,且BC=3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=BD.(Ⅰ

如图,已知圆O的直径AB长度为4,点D为线段AB上一点,且AD=13DB,点C为圆O上一点,且BC=3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=BD.(Ⅰ

题型:不详难度:来源:
如图,已知圆O的直径AB长度为4,点D为线段AB上一点,且AD=
1
3
DB
,点C为圆O上一点,且BC=


3
AC
.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=BD.
(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAB;
(Ⅱ)求PD与平面PBC所成的角的正弦值.魔方格
答案
(Ⅰ)证明:连接CO,由3AD=DB知,点D为AO的中点,
又∵AB为圆O的直径,∴AC⊥CB,


3
AC=BC
知,∠CAB=60°,
∴△ACO为等边三角形,从而CD⊥AO.
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D,
∴PD⊥平面ABC,又CD?平面ABC,
∴PD⊥CD,
由PD∩AO=D得,CD⊥平面PAB.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知CD=


3
,PD=DB=3,
过点D作DE⊥CB,垂足为E,连接PE,再过点D作DF⊥PE,垂足为F.
∵PD⊥平面ABC,又CB?平面ABC,
∴PD⊥CB,又PD∩DE=D,
∴CB⊥平面PDE,又DF?平面PDE,
∴CB⊥DF,又CB∩PE=E,
∴DF⊥平面PBC,故∠DPF为所求的线面角.
在Rt△DEB中,DE=DBsin30°=
3
2
PE=


PD2+DE2
=
3


5
2

sin∠DPF=sin∠DPE=
DE
PE
=


5
5
举一反三
如图,直角梯形ABCD中,ABCD,∠BCD=90°,BC=CD=


2
,AD=BD:EC丄底面ABCD,FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.
(I )求证:AD丄BF;
(II )若线段EC的中点为M,求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值.魔方格
题型:嘉兴一模难度:| 查看答案
正四棱锥的底面边长为


2
,体积为
2


3
3
,则它的侧棱与底面所成角的大小为______.
题型:不详难度:| 查看答案
一条直线与平面a成60°角,则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
一条线段的两端点分别在一个直二面角的两个面内,则这条线段与这两个平面所成角的和(  )
A.等于90°B.大于90°C.不大于90°D.不小于90°
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCDE,F为线段A′D的中点.
(Ⅰ)求证:EF平面A′BC;
(Ⅱ)求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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