如图1,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,AD=CD,把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示(点D记为点P),点P在

如图1,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,AD=CD,把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示(点D记为点P),点P在

题型:四川省期末题难度:来源:
如图1,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,AD=CD,把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示(点D记为点P),点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB.
(1)求直线PC与平面PAB所成的角的大小;
(2)求二面角P﹣AC﹣B的大小的余弦值.
答案
(1)解:在图1中,∵∠ABC=∠DAB=90°,∠CAB=30°,BC=1,
,∠DAC=60°
∵AD=CD,
∴△DAC为等边三角形.
∴AD=CD=AC=2.
在图2中, ∵点E为点P在平面ABC上的正投影, ∴PE⊥平面ABC.
∵BC平面ABC, ∴PE⊥BC.
∵∠CBA=90°, ∴BC⊥AB.
∵PE∩AB=E,PE平面PAB,AB平面PAB,
∴BC⊥平面PAB.
∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角.
在Rt△CBP中,BC=1,PC=DC=2,
 . ∵0°<∠CPB<90°, ∴∠CPB=30°.
∴直线PC与平面PAB所成的角为30°.
(2)解:取AC的中点F,连接PF,EF.
∵PA=PC, ∴PF⊥AC.
∵PE⊥平面ABC,AC平面ABC,
∴PE⊥AC.
∵PF∩PE=P,PF平面PEF,PE平面PEF,
∴AC⊥平面PEF.
∵EF平面PEF,
∴EF⊥AC.
∴∠PFE为二面角P﹣AC﹣B的平面角.
在Rt△EFA中,
∴EF=AFtan30°=
在Rt△PFA中,
在Rt△PEF中,
∴二面角P﹣AC﹣B的大小的余弦值为.

                             图1                                                            图2
举一反三
在直二面角α﹣PQ﹣β中,直角三角形ABC在面α内,斜边AB在棱PQ上,若AC与面β成30°的角,则BC与面β所成角为 [     ]
A.30°  
B.45°  
C.60°  
D.60°或120°
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等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为(    )。
题型:期中题难度:| 查看答案
如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE=2,AD=4,AA1=8.
(1)求直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值;
(2)求证:AF⊥平面A1ED;
(3)求二面角A1﹣ED﹣F的余弦角.
题型:北京期末题难度:| 查看答案
△ABC和△DBC所在的平面相互垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,则AD和平面BCD所成的角为 [     ]
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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△ABC和△DBC所在的平面相互垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,则AD和平面BCD所成的角为 [     ]
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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