解:(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系, 依题意得D(0,4,0),F(2,4,2),A1(0,0,8),E(2,3,0) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,是平面A1ADD1的一个法向量, ∴=(2,0,0),=(2,3,﹣8) ∴cos<,>== 故直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值为 (2)证明:易知 =(2,4,2),=(﹣2,﹣3,8),=(﹣2,1,0), 于是 ·=0,·=0, 因此AF⊥A1E,AF⊥ED, 又A1E∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED. (3)设平面EFD的法向量 =(x,y,z) 则 ,即 不妨令X=1,可得 =(1,2,﹣1) 由(2)可知,为平面A1ED的一个法向量. 于是cos ==, 所以二面角A1﹣ED﹣F的余弦值为 |