如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点，(1)求证：平

题型：河北省期末题难度：来源：

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点，
(1)求证：平面PDE⊥平面PAC；
(2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
(3)求点B到平面PDE的距离．

答案

解：如图，
(1)设AC与DE交于点G，延长DE交CB的延长线于点F，
则易得△DAE≌△FBE，
∴BF=AD=1，∴CF=4，
∴，
又∵，
∴∠BFE=∠ACD，
又∵∠ACD+∠ACF=90°，
∴∠BFE+∠ACF=90°，
∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE，
又∵PC⊥底面ABCD，
∴PC⊥DE，
∴DE⊥平面PAC，
∵DE平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC。
(2)连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，
则由(1)知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，
根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，
从而∠CPH，即∠CPG为直线PC与平面PDE所成的角，
在Rt△DCA中，，
在Rt△PCG中，，
所以，即直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为。
(3)由，可知点B到平面PDE的距离等于
点C到平面PDE的距离的，即CH，
在Rt△PCG中，，
从而点B到平面PDE的距离等于。