如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。（I）求直线AM与平面BCD所成角的大小；（Ⅱ）求平面ACM

题型：江西省高考真题难度：来源：

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2。
（I）求直线AM与平面BCD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

答案

解析

解：（Ⅰ）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM ⊥CD
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD
所以MO∥AB
A、B、O、M共面
延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角

所以，即
∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°；
（Ⅱ）CE是平面ACM与平面BCD的交线。由（I）知，O是BE的中点，则BCED是菱形
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC
∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为θ
因为∠BCE=120°
所以∠BCF=60°

所以，所求二面角的正弦值是。