如图1,矩形ABCD中,AB=,BC=2,Q为AD的中点,将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起,使得AQ、DQ重合,记A、D重合的点为P,如图2。(1)求二面角

如图1,矩形ABCD中,AB=,BC=2,Q为AD的中点,将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起,使得AQ、DQ重合,记A、D重合的点为P,如图2。(1)求二面角

题型:0119 期末题难度:来源:
如图1,矩形ABCD中,AB=,BC=2,Q为AD的中点,将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起,使得AQ、DQ重合,记A、D重合的点为P,如图2。

(1)求二面角B-PQ-C的大小;
(2)证明:PQ⊥BC;
(3)求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小。
答案
(1)解:在矩形ABCD中,AB⊥AQ,DC⊥DQ,
所以,在折起后,有PB⊥PQ,APC⊥PQ,
所以∠BPC就是所求的二面角的平面角,
因为,BC=2,
所以
即△PBC是直角三角形,所以 ∠BPC=90°。
(2)证明:由已知可得△BCQ、△BCP都是等腰三角形,
取BC的中点M,连结PM、QM, 则有PM⊥BC,QM⊥BC,
因为PM∩QM=M,平面PQM,平面PQM,
所以BC⊥平面PQM,
因为平面PQM,
所以PQ⊥BC。
(3)由(2)知BC⊥平面PQM,而平面BCQ,
所以平面PQM⊥平面BCQ,
又平面PQM∩平面BCQ=QM,
所以,作PN⊥QM,有PN⊥平面BCQ,
所以,QN是PQ在平面BCQ内的射影,
所以,∠PQN就是所求的角,
在等腰△BCQ中,,MC=1,所以得
在等腰△BCP中,易得PM=1,
所以△PQM是等腰直角三角形,于是∠PQN=∠PQM=45°。
举一反三
在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是

[     ]

A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
题型:0103 期末题难度:| 查看答案
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2,M是BC的中点,P是侧棱BB1上一点,且A1P⊥B1M。
(Ⅰ)试求A1P与平面APC所成角的正弦;
(Ⅱ)求点A1到平面APC的距离。
题型:0116 模拟题难度:| 查看答案
在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是

[     ]

A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
题型:0108 期末题难度:| 查看答案
如图所示,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB=2,O 为四棱锥P-ABCD内一点,AO=1,若DO与平面PBC成角中最大角为α,则α=
[     ]
A、15°
B、30°
C、45°
D、60°
题型:0122 月考题难度:| 查看答案
如图所示,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,PA=,AD=2,BC=,∠ADC=60°,O为四棱锥P-ABCD内一点,AO=1,若DO与平面PCD成角最小角为α,则α=
[     ]
A.15°
B.30°
C.45°
D.arcsin
题型:0122 月考题难度:| 查看答案
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