四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=6,E为PC的中点.(1)求二面角E-AD-C的正切值;(2)在线段P
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四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=6,E为PC的中点.(1)求二面角E-AD-C的正切值;(2)在线段P
题型:不详
难度:
来源:
四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,
PA=
6
,
E为PC的中点.
(1)求二面角E-AD-C的正切值;
(2)在线段PC上是否存在一点M,使PC⊥平面MBD成立?若存在,求出MC的长;若不存在,请说明理由.
答案
(1)连AC、BD交于点O,连OE,则OE
∥
PA,从而OE⊥平面ABCD,
过点O作OF⊥AD于点F,连EF,则易证∠EFO就是所求二面角的平面角.
由ABCD是菱形,且∠ABC=120°,AB=1,得
OF=
3
4
,
又
OE=
1
2
PA=
6
2
,
∴在Rt△OEF中,有
tan∠EFO=
OE
OF
=2
2
.(5分)
(2)证明:过点B作BM⊥PC于点M,连DM,
则∵△PBC≌△PDC,∴DM⊥PC,
∴PC⊥平面MBD,在△PBC中,
PB=
7
,BC=1,PC=3
,
∴
cos∠PCB=
1+9-7
2•1•3
=
1
2
∴
MC=BCcos∠PCB=
1
2
,
∴在PC上存在点M,且
MC=
1
2
时,有PC⊥平面MBD.(10分)
举一反三
设正方体ABC-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2,动点E,F在棱A
1
B
1
上,动点P、Q分别在棱AD、CD上,若EF=1,A
1
E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z>0),则下列结论中错误的是( )
A.EF
∥
平面DPQ
B.二面角P-EF-Q所成角的最大值为
π
4
C.三棱锥P-EFQ的体积与y的变化有关,与x、z的变化无关
D.异面直线EQ和AD
1
所成角的大小与x、y的变化无关
题型:不详
难度:
|
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把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角,这时A到边BC的距离是( )
A.
15
4
a
B.
6
3
a
C.
13
4
a
D.
3
2
a
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角后,则线段AB的长度为( )
A.
2
B.
2
11
C.
3
2
D.
4
2
题型:不详
难度:
|
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正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为θ,则θ的取值范围是( )
A.(0,
π
2
)
B.(
π
3
,
π
2
)
C.(
π
4
,
π
3
)
D.(
π
2
,π)
题型:不详
难度:
|
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将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折起后∠ADC的大小为______.
题型:不详
难度:
|
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