已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;(Ⅱ)

已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;(Ⅱ)

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已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(Ⅰ)求证:AF平面PEC;
(Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角P-EC-D的余弦值.
答案
(Ⅰ)取PC的中点O,连接OF、
OE.∴FODC,且FO=
1
2
DC
∴FOAE
又E是AB的中点.且AB=DC.∴FO=AE.
∴四边形AEOF是平行四边形.∴AFOE
又OE⊂平面PEC,AF⊄平面PEC
∴AF平面PEC
(Ⅱ)连接AC
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角
在Rt△PAC中,tan∠PCA=
PA
AC
=
1


5
=


5
5

即直线PC与平面ABCD所成的角正弦值为


6
6

(Ⅲ)作AM⊥CE,交CE的延长线于M.连接PM,由三垂线定理.得PM⊥CE
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.
由△AME△CBE,可得AM=


2
2
,∴tan∠PMA=
PA
AM
=


2

∴二面角P一EC一D的余弦值为


6
6
举一反三
四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a.
(I)若M是底面ABCD的一个动点,且满足|MB|=|MS|,求点M在正方形ABCD内的轨迹;
(II)试问在线段SD上是否存在点E,使二面角C-AE-D的大小为60°?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
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设一个正三棱锥的侧面与底面所成的角为α,相邻两个侧面所成的角为β,那么两个角α和β的三角函数间的关系是(  )
A.2cos2α+3cosβ=1B.2cosα+3cos2β=1
C.3cos2α+2cosβ=1D.3cosα+2cos2β=1
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如果正三棱锥的侧面均为直角三角形,侧面与底面所成的角为α,则α的值是______.
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正四棱锥的底面积为Q,侧面积为P,侧面与底面所成的二面角为α,则cosα=______.
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已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于O的任意一点Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的取值范围是______.
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