如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=π2，AB=a，AD=3a，∠ADC=arcsin55，PA⊥面ABCD，PA=a．求：（1）二面角P-CD-A的大

题型：不详难度：来源：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=a，AD=3a，∠ADC=arcsin

5

5

，PA⊥面ABCD，PA=a．求：
（1）二面角P-CD-A的大小（用反三角函数表示）；
（2）点A到平面PBC的距离．

答案

（1）作AE⊥直线CD于E连PE．
由PA⊥面ABCD据三垂线定理知PE⊥CD．∴∠PEA是二面角P-CD-A的平面角．
在Rt△AED中，AD=3a，∠ADE=arcsin

5

5

．∴AE=AD•sin∠ADE=

3 5

5

a
在Rt△PAE，中tan∠PEA=

PA

AE

=

5

3

．∴∠PEA=arctg

5

3

即二面角P-CD-A的大小为arctg

5

3

．
（2）作AH⊥PB于H．
由PA⊥面ABCD，∵BC⊥AB，∴PB⊥BC．
又PB∩AB=B，∴BC⊥面PAB．
∴BC⊥AH．
∴AH⊥面PBC，AH的长为点A到面PBC的距离．
在等腰Rt△PAB中，AH=

2

2

a．
∴点A到平面PBC的距离是

2

2

a．