(Ⅰ)证明:∵直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD 又∵AD⊥BD,∴A1D⊥BD.…(2分) 又A1D⊥BE,∴A1D⊥平面BDE.…(3分) (Ⅱ)连B1C.∵A1B1∥CD,∴B1C∥A1D.∵A1D⊥BE,∴B1C⊥BE, ∴∠BB1C=∠CBE,∴Rt△BB1C∽Rt△CBE, ∴=.∵CE=BB1,BC=AD=a,∴B=BC2=a2,∴BB1=a.…(5分) 取CD中点M,连BM.∵CD=a,∴BM=a. 过M作MN⊥DE于N,连BN.∵平面CD1⊥平面BD,BM⊥CD,∴BM⊥平面CD1, ∴BN⊥DE,∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角.…(7分)∵sin∠MDN==,DE===a, ∴MN=.在Rt△BMN中,tan∠BNM==,∴∠BNM=arctan. 即二面角B-DE-C等于arctan.…(9分) (Ⅲ)∵A1D⊥平面BDE,BN⊂平面BDE,∴A1D⊥BN.…(10分) 又∵BN⊥DE,∴BN⊥平面A1DE,即BN的长就是点B到平面A1DE的距离.…(11分) ∵BM=a,MN=,∴BN==a, 即点B到平面A1DE的距离为a.…(12分) |