(Ⅰ)取AB中点D,连接PD,CD. ∵AP=BP,∴PD⊥AB. ∵AC=BC,∴CD⊥AB. ∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD. ∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥AB. (Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC,∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C,∴BC⊥平面PAC. 取AP中点E.连接BE,CE. ∵AB=BP,∴BE⊥AP. ∵EC是BE在平面PAC内的射影,∴CE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. 在△BCE中,BC=2,BE=AB=,CE= cos∠BEC=.∴二面角B-AP-C的大小arccos. (Ⅲ)由(Ⅰ)知AB⊥平面PCD,∴平面APB⊥平面PCD. 过C作CH⊥PD,垂足为H.
∵平面APB∩平面PCD=PD,∴CH⊥平面APB. ∴CH的长即为点C到平面APB的距离. 由(Ⅰ)知PC⊥AB,又PC⊥AC,且AB∩AC=A,∴PC⊥平面ABC. ∵CD⊂平面ABC,∴PC⊥CD. 在Rt△PCD中,CD=AB=,PD=PB=, ∴PC==2.∴CH==. ∴点C到平面APB的距离为. |