如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角A1-AB1-D

题型：大连一模难度：来源：

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为

2

2

a，D是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小．

答案

（Ⅰ）连接A₁B与AB₁交于E，则E为A₁B的中点，


∵D为A₁C₁的中点，
∴DE为△A₁BC₁的中位线，
∴BC₁∥DE．
又DE⊂平面AB₁D，BC₁⊄平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D
（Ⅱ）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB₁，连接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，
∴B1D=

3

2

A1B1=

3

2

a，
在直角三角形AA₁D中，
∵AD=

A A 21 +A1D2

=

3

2

a，
∴AD=B₁D．
∴DE⊥AB₁，
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB₁．则∠DEF为二面角A₁-AB₁-D的平面角，又得DF=

3

4

a，
∵△B₁FE∽△B₁AA₁，
∴

EF

AA1

=

B1E

A1B1

⇒EF=

3

4

a
∴∠DEF=

π

4

．
故所求二面角A₁-AB₁-D的大小为

π

4

．