如图,在正四棱锥P-ABCD中,∠APC=60°,则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为(  )A.17B.-17C.12D.-12

如图,在正四棱锥P-ABCD中,∠APC=60°,则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为(  )A.17B.-17C.12D.-12

题型:不详难度:来源:
如图,在正四棱锥P-ABCD中,∠APC=60°,则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为(  )
A.
1
7
B.-
1
7
C.
1
2
D.-
1
2
魔方格
答案
过A作AE⊥PB于E,连接EC,PO,连接AC、BD交于点O
魔方格

∵PO是正四棱锥P-ABCD的高,PO⊥面ABCD,AC⊂平面ABCD
∴AC⊥PO
又∵正方形ABCD中,AC⊥BD,PO、BD是平面PBD内的相交直线
∴AC⊥平面PBD,得PB⊥AC
∵AE⊥PB,AC、AE是平面ACE内的相交直线
∴PB⊥平面ACE,得CE⊥PB
因此,∠AEC是二面角A-PB-C的平面角
设AB=1,得AC=


2

∵正四棱锥P-ABCD中,PA=PC,∠APC=60°,
∴△ACP是正三角形,得PA=PC=AC=


2

△PAB中,cos∠PBA=
AB2+PB2-PA2
2×AB×PB


2
4

∴Rt△ABE中,BE=ABcos∠PBA=


2
4
,AE=


AB2-BE2
=


14
4
,同理得到CE=


14
4

△AEC中,cos∠AEC
AE2+CE2-AC2
2AE×CE
=-
1
7

即二面角A-PB-C的平面角的余弦值为-
1
7

故选:B
举一反三
如图,矩形ABCD和ABEF中,AF=AD=2AB=2,二面角C-AB-E的大小为60°,G为BC的中点.
(1)求证:AG⊥DE;
(2)求二面角A-ED-G的余弦值.魔方格
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设E,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C-FG-E的大小是(  )
A.arcsin


6
3
B.
π
2
+arccos


3
3
C.
π
2
-arctan


2
D.π-arccot


2
2
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正四面体ABCD边长为2,AO⊥平面BCD,垂足为O,设M为线段AO上一点,且∠BMC=90°,则二面角M-BC-O的余弦值为______.
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已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=
1
2
AB.
(1)证明:DC⊥平面PAD;
(2)求二面角P-BC-A的余弦值的大小.魔方格
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已知平面π截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成的角为30°,此曲线是 ______,它的离心率为 ______.
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