(1)设BD与AC交于O,作OK⊥AA1于K,连接DK,则DK⊥AA1,OD⊥OK, 故∠DKO为二面角D-A1A-C的平面角, ∵∠OAK=60°,∴OK= 在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1,DO== ∴tan∠DKO=2, ∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是 ∴二面角D-A1A-C的大小为arccos; (2)连结A1O、A1B,由于B1B∥平面A1A DD1,所以B、B1到平面A1A DD1的距离相等, 设点B到平面A1A DD1的距离等于h. 在△AA1O中,A1O2=A1A2+AO2-2A1A•AOcos60°=3 ∴A1O2+AO2=A1A2 ∴A1O⊥AO 而平面A A1C1C⊥平面ABCD,∴A1O⊥平面ABCD 由上述第(1)问有,ED⊥A1A1且ED== ∴S△A1DA=A1A•ED=×2×= 又S△ABD=AO•BD=×1×2= 由VB-A1DA=VA1-ABD有S△A1DA•h=S△ABD•A1O ∴h=•A1O=×= 即点B1到平面A1ADD1的距离d= (3)存在,点P在C1C的延长线上且CP=C1C,证明如下: 延长C1C到P使CP=C1C,连接B1C,BP,则BP∥B1C ∴BP∥A1D 又A1D 平面⊂DA1C1,BP⊄平面DA1C1, ∴BP∥平面DA1C1. |