已知三棱锥A-BCD的体积是V,棱BC的长是a,面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是α,那么sinα=______.
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已知三棱锥A-BCD的体积是V,棱BC的长是a,面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是α,那么sinα=______. |
答案
如图,过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD, 在平面ABC内作AE⊥BC,连结HE, 根据三垂线定理可知,HE⊥BC, 所以∠AEH是二面角A-BC-D的平面角,则∠AEH=α, 由已知S△BCD=S2,三棱锥A-BCD的体积为V=S2•AH,AH=, S△ABC=S1=AE•BC,AE=2, sinα===. 所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值为. 故答案为. |
举一反三
如图,已知四边形 ABCD 是矩形,AB=2BC=2,三角形 PAB 是正三角形,且 平面 ABCD⊥平面 PCD. (1)若 O 是 CD 的中点,证明:BO⊥PA; (2)求二面角 B-PA-D 的余弦值. |
已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形,PA=,AB=1,AD=2,O 是BC 的中点. 1)求证:平面PAO⊥平面POD. 2)求二面角P-OD-A 的大小. |
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60° (Ⅰ)求证:BD⊥PC; (Ⅱ)若PA=AB,求二面角A-PD-B的余弦值. |
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面ADC1; (Ⅱ)若二面角C1-AD-C的大小为60°,求AB1与平面ADC1所成角的正弦值. |
如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面 DEF所截而得.AB=2,BD=1,CE=3,AF=a,O为AB的中点. (1)当a=4时,求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值; (2)当a为何值时,在棱DE上存在点P,使CP⊥平面DEF? |
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