如图,已知四边形 ABCD 是矩形,AB=2BC=2,三角形 PAB 是正三角形,且 平面 ABCD⊥平面 PCD.(1)若 O 是 CD 的中点,证明:BO⊥

如图,已知四边形 ABCD 是矩形,AB=2BC=2,三角形 PAB 是正三角形,且 平面 ABCD⊥平面 PCD.(1)若 O 是 CD 的中点,证明:BO⊥

题型:深圳二模难度:来源:
如图,已知四边形 ABCD 是矩形,AB=2BC=2,三角形 PAB 是正三角形,且 平面 ABCD⊥平面 PCD.
(1)若 O 是 CD 的中点,证明:BO⊥PA;
(2)求二面角 B-PA-D 的余弦值.魔方格
答案
(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 PCD,平面 ABCD∩平面 PCD=CD,四边形 ABCD 是矩形.
∴AD⊥平面PCD,BC⊥平面PCD,
在Rt△PDA与在Rt△PBC中,AD=BC,PB=PA,∴PC=PD=


22-12
=


3

若 O 是 CD 的中点,OP⊥CD.
OP=


(


3
)2-1
=


2

建立如图所示的空间直角坐标系,
魔方格
AB=2BC=2.
则O(0,0,0),B(1,0,1),A(-1,0,1),P(0,


2
,0).


OB
=(1,0,1)


PA
=(-1,-


2
,1)

cos<


OB


PA
=


OB


PA
|


OB
| |


PA
|
=0,


OB


PA
,∴BO⊥PA.
(2)由(1)可知:


AB
=(2,0,0)

设平面BPA的法向量为


n1
=(x1y1z1)








n1


PA
=0


n1


AB
=0
,得





-x1-


2
y1+z1=0
2x1=0
,取y1=1,则z1=


2
,x1=0.
∴平面BPA的一个法向量为


n1
=(0,1,


2
)



DA
=(0,0,1)
,设平面PAD的法向量为


n2
=(x2y2z2)








n2


DA
=0


n2


PA
=0
,则





z2=0
-x2-


2
y2+z2=0
,取y2=1,则x2=-


2
,z2=0.


n2
=(-


2
,1,0)

cos<


n1


n2
=


n1


n2
|


n1
| |


n2
|
=
1


3
×


3
=
1
3

由图可以看出:二面角 B-PA-D 是一个钝角,故其余弦值为-
1
3
举一反三
已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形,PA=


2
,AB=1,AD=2,O 是BC 的中点.
1)求证:平面PAO⊥平面POD.
2)求二面角P-OD-A 的大小.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°
(Ⅰ)求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)若PA=AB,求二面角A-PD-B的余弦值.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点.
(Ⅰ)求证:A1B平面ADC1
(Ⅱ)若二面角C1-AD-C的大小为60°,求AB1与平面ADC1所成角的正弦值.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面 DEF所截而得.AB=2,BD=1,CE=3,AF=a,O为AB的中点.
(1)当a=4时,求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值;
(2)当a为何值时,在棱DE上存在点P,使CP⊥平面DEF?魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,E为棱A1D1中点.
(I)求二面角E-AC-B的正切值;
(II)求直线A1C1到平面EAC的距离.魔方格
题型:黄州区模拟难度:| 查看答案
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