如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.
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如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,M是抛物线y
2
=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.
答案
设K,直线ME的斜率为 k(k>0),
则直线MF的斜率为-k,直线ME 的方程为
y-y
0
=k(x-y
0
2
),由
y-
y
0
=k(x-
y
0
2
)
y
2
=x
得ky
2
-y+y
0
(1-ky
0
)=0.
于是
y
0
y
E
=
y
0
(1-k
y
0
)
k
,
所以
y
E
=
1-k
y
0
k
.
同理可得
y
F
=
1+k
y
0
-k
,
∴
k
EF
=
y
E
-
y
F
x
E
-
x
F
=
y
E
-
y
F
y
E
2
-
y
F
2
=
1
y
E
+
y
F
=-
1
2
y
0
(定值)
举一反三
已知两点M(-1,0)、N(1,0),动点P(x,y)满足
|
MN
|•|
NP
|-
MN
•
MP
=0,
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)假设P
1
、P
2
是轨迹C上的两个不同点,F(1,0),λ∈R,
F
P
1
=λ
F
P
2
,求证:
1
|F
P
1
|
+
1
|F
P
2
|
=1.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
45
+
y
2
20
=1
的焦点分别为F
1
和F
2
,过原点O作直线与椭圆相交于A,B两点.若△ABF
2
的面积是20,则直线AB的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知动圆过定点D(1,0),且与直线l:x=-1相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C;
(2)过定点D(1,0)作直线l交轨迹C于A、B两点,E是D点关于坐标原点O的对称点,求证:∠AED=∠BED.
题型:不详
难度:
|
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已知两点M(2,0)、N(-2,0),平面上动点P满足由
|
MN
|•|
MP
|+
MN
•
MP
=0
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)是否存在实数m使直线x+my-4=0(m∈R)与曲线C交于A、B两点,且OA⊥OB?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,若点D满足:
2
OD
=
OF
+
OP
(O为原点)且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2,过点B的直线l交双曲线于M、N两点,问在y轴上是否存在定点C,使
CM
•
CN
为常数,若存在,求出C点的坐标,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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