如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,E为棱A1D1中点.(I)求二面角E-AC-B的正切值;(II)求直线A1C1到平面EAC的距离.
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如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,E为棱A1D1中点.(I)求二面角E-AC-B的正切值;(II)求直线A1C1到平面EAC的距离.
题型:黄州区模拟
难度:
来源:
如图所示,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=a,E为棱A
1
D
1
中点.
(I)求二面角E-AC-B的正切值;
(II)求直线A
1
C
1
到平面EAC的距离.
答案
(I)取AD的中点H,连接EH,则EH⊥平面ABCD,过H作HF⊥AC与F,连接EF,
则EF在平面ABCD内的射影为HF,由三垂线定理得EF⊥AC,,
∴∠EFH即为
二面角E-AC-B的补角
∵EH=a,HF=
1
4
BD=
2
4
a
∴∠tan∠EFH=
EH
HF
=
a
2
4
a
=2
2
∴二面角E-AC-B的正切值为-2
2
…6分
(II)直线A
1
C
1
到平面EAC的距离,即A
1
点到平面EAC的距离d,…8分
∵
V
A
1
-EAC
=
V
D-
A
1
AE
∴S
△EAC
•d=
S
A
1
AE
•CD
∵EF=
EH
2
+
FH
2
=
a
2
+(
2
a
4
)
2
=
3
2
4
a
∴S
△EAC
=
1
2
•AC•EF=
1
2
•
2
a•
3
2
4
a
=
3
4
a
2
而
S
A
1
AE
=
1
2
•
a
2
•a=
a
2
4
∴
3
4
a
2
•d=
a
2
4
•a
∴d=
a
3
∴直线A
1
C
1
到平面EAC的距离
a
3
举一反三
如图,在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB=2,若二面角C-AB-C
1
的大小为60°,则异面直线A
1
B
1
和BC
1
所成角的余弦值为( )
A.
1
2
B.
3
2
C.
7
7
D.
13
13
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB=AC=AA
1
=2,∠ABC=45°.
(1)求点A 到平面 A
1
BC的距离;
(2)求二面角A-A
1
C-B的大小.
题型:浦东新区一模
难度:
|
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在等边三角形ABC中,M、N、P分别为AB、AC、BC的中点,沿MN将△AMN折起,使得面AMN与面MNCB所成的二面角的余弦值为
1
3
,则直线AM与NP所成角α应满足______.
题型:许昌一模
难度:
|
查看答案
如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.
(1)证明:AC⊥PB;
(2)证明:PB
∥
平面AEC;
(3)求二面角E-AC-B的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图所示)
(1)求证:AE
∥
平面DCF;
(2)当AB的长为
9
2
,∠CEF=90°时,求二面角A-EF-C的大小.
题型:不详
难度:
|
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