如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）证明：AC⊥PB；（2）证明：PB∥平面A

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如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（1）证明：AC⊥PB；
（2）证明：PB∥平面AEC；
（3）求二面角E-AC-B的大小．

答案

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA
又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB（2分）
又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB（4分）
（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO
∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点（5分）
又E为PD中点，∴PB∥EO（6分）
又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC（8分）
（3）过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则F为AD中点
∵AB⊥AC，∴OG⊥AC
又由 （1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，
∴AC⊥EO（10分）
∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角
连结EF，在△EFO中，FO=

1

2

AB
又PA=AB，EF⊥FO，∴∠EOF=45°
∴∠EOG=135°，即二面角E-AC-B的大小为135°．（12分）