解法一: (I)证明
如图,连接AC,AC交BD于点G,连接EG.∵底面ABCD是正方形,∴G为AC的中点. 又E为PC的中点,∴EG∥PA.∵EG⊂平面EDB,PA⊄平面EDB,∴PA∥平面EDB …(4分) (II)证明:∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DB,PD⊥DC,PD⊥DB. 又∵BC⊥DC,PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.∴PC是PB在平面PDC内的射影. ∵PD⊥DC,PD=DC,点E是PC的中点,∴DE⊥PC. 由三垂线定理知,DE⊥PB. ∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E,∴PB⊥平面EFD. …(8分) (III) ∵PB⊥平面EFD,∴PB⊥FD.又∵EF⊥PB,FD∩EF=F,∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角.…(10分) ∵PD=DC=BC=2,∴PC=DB=2,DE=PC= ∵PD⊥DB, ∴PB==2 DF== 由(II)知:DE⊥PC,DE⊥PB,PC∩PB=P,∴DE⊥平面PBC. ∵EF⊂平面PBC,∴DE⊥EF. 在Rt△DEF中,sin∠EFD== ∴∠EFD=60°. 故所求二面角C-PB-D的大小为60°. …(12分) 解法二: 如图,以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系,得以下各点坐标:D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),P(0,0,2)…(1分) (I)证明: 连接AC,AC交BD于点G,连接EG.∵底面ABCD是正方形,∴G为AC的中点.G点坐标为(1,1,0). 又E为PC的中点,E点坐标为(0,1,1), ∴=(2,0,-2),=(1,0,-1) ∴=2 ∴PA∥EG ∵EG⊂平面EDB,PA⊄平面EDB, ∴PA∥平面EDB …(4分) (II)证明:
=(2,2,-2),=(0,1,1) ∴•=0 ∴PB⊥DE 又∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E, ∴PB⊥平面EFD. (III)∵PB⊥平面EFD,∴PB⊥FD. 又∵EF⊥PB,FD∩EF=F,∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角.…(10分) 设点F的坐标为(x,y,z),则=(x,y,z-2),=(x,y,z) ∵PF∥PB,DF⊥PB ∴=k,•=0,即: x=y=(-z-2)=2k,x+y-z=0 解得:k=,x=y=,z= ∴点F的坐标为(,,) =(-,-,-),=(-,,-) ∵cos∠EFD== ∴∠EFD=60°.故所求二面角C-PB-D的大小为60°. …(12分) |