如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面

题型：浙江省模拟题难度：来源：

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的大小．

答案

解：（法一）（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM平面ABC，
∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，
∴BM⊥平面ACFE，而EM?平面ACFE，
∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，
∴AB=BC=2，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA,
∴FC⊥平面ABCD
∴∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．
∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF平面MBF，
∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，
∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，
∴BG⊥平面FCH．∵FH?平面FCH，
∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB·sin30°= .
由，得GC=2．
∵BG=．2
又又∵△GCH～△GBM，∴，则．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
（法二）（1）同法一，得AM=3，BM=．如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得，
∴．
由，得，
∴EM⊥BF． 
（2）由（1）知．
设平面BEF的法向量为，
由 得，
令得y=1，z=2，∴， 
由已知EA⊥平面ABC，所以取面ABC的法向量为，
设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，
则∴
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为．