如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥B
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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥B
题型:山东省期末题
难度:
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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
答案
解:(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM伡平面ABC,
∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,
∴BM⊥平面ACFE, 而EM伡平面ACFE,
∴BM⊥EM.
∵AC是圆O的直径,
∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,
∴
,AM=3,CM=1.
∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,
∴FC⊥平面ABCD.
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.
∴∠EMF=90°,
即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).
∵MF∩BM=M,
∴EM⊥平面MBF. 而BF伡平面MBF,
∴EM⊥BF.
(2)延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,连接FH.
由(1)知FC⊥平面ABC,BG伡平面ABC,
∴FC⊥BG. 而FC∩CH=C,
∴BG⊥平面FCH.
∵FH伡平面FCH,
∴FH⊥BG,
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的 二面角的平面角.
在Rt△ABC中,
∵∠BAC=30°,AC=4,
∴
.
由
,得GC=2.
∵
.
又∵△GCH~△GBM,
∴
,则
.
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°.
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
.
举一反三
如图,四棱锥C-ABDE中,△ABC为等腰直角三角形AC=AB,AE⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,M为
DC上一点,BD=BC=2AE=2.
(1)求证:
;
(2)当
时,求二面角
的余弦值.
题型:四川省模拟题
难度:
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如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
(Ⅰ) 求证:平面BCE⊥平面CDE;
(Ⅱ) 求二面角B-EF-D的余弦值.
题型:浙江省模拟题
难度:
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三棱锥A-BCD中, E是BC的中点,AB=AD,BD⊥DC
(I)求证:AE⊥BD;
(II)若
,且二面角A-BD-C为
,求AD与面BCD所成角的正弦值。
题型:浙江省模拟题
难度:
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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,
,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的大小.
题型:浙江省模拟题
难度:
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平行四边形ABCD中,AB=2,AD=
,且∠BAD=45°,以BD为折线,把△ABD折起,使平面ABD⊥平面CBD,连AC。
(1)求异面直线AD与BC所成角大小;
(2)求二面角B-AC-D平面角的大小;
(3)求四面体ABCD外接球的体积。
题型:浙江省模拟题
难度:
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