如图,四棱锥C-ABDE中,△ABC为等腰直角三角形AC=AB,AE⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,M为DC上一点,BD=BC=2AE=2.(1)求证:; (2

如图,四棱锥C-ABDE中,△ABC为等腰直角三角形AC=AB,AE⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,M为DC上一点,BD=BC=2AE=2.(1)求证:; (2

题型:四川省模拟题难度:来源:
如图,四棱锥C-ABDE中,△ABC为等腰直角三角形AC=AB,AE⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,M为
DC上一点,BD=BC=2AE=2.
(1)求证:;
(2)当时,求二面角的余弦值.
答案
解:依题意建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,
(1)∵

//
平面,平面,
∥平面
(2)证明:∵上,

,则有,,
=

=
解得:,

依题意为平面的一个法向量,
为平面的一个法向量,则有

解得,

显然,二面角为锐二面角

所以,二面角的余弦值为
举一反三
如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
(Ⅰ) 求证:平面BCE⊥平面CDE;
(Ⅱ) 求二面角B-EF-D的余弦值.
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三棱锥A-BCD中, E是BC的中点,AB=AD,BD⊥DC
(I)求证:AE⊥BD;
(II)若,且二面角A-BD-C为,求AD与面BCD所成角的正弦值。
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如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的大小.
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平行四边形ABCD中,AB=2,AD=,且∠BAD=45°,以BD为折线,把△ABD折起,使平面ABD⊥平面CBD,连AC。
(1)求异面直线AD与BC所成角大小;
(2)求二面角B-AC-D平面角的大小;
(3)求四面体ABCD外接球的体积。
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
(Ⅰ)试证:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30°,求k的取值范围.
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