如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC(1)求直线PC与平面ABC所成角的大小;(2)求二面角

如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC(1)求直线PC与平面ABC所成角的大小;(2)求二面角

题型:高考真题难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC
(1)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
(2)求二面角B-AP-C的大小。
答案
解:(1)设AB中点为D,AD中点为O,连接OC,OP,CD
因为AB=BC=CA,所以CD⊥AB,
因为∠APB=90°,∠PAB=60°,
所以△PAD为等边三角形,
所以PO⊥AD,
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AD
PO⊥平面ABC,∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角
不妨设PA=2,则OD=1,OP=,AB=4
所以CD=2,OC===
在RT△OCP中,tan∠OCP===
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan
(2)过D作DE⊥AP于E,连接CE
由已知,可得CD⊥平面PAB
根据三垂线定理知,CE⊥PA
所以∠CED为二面角B-AP-C的平面角
由(1)知,DE=
在RT△CDE中,tan∠CED===2,
故二面角B-AP-C的大小为arctan2。
举一反三
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1。
(1)证明:PC⊥AD;
(2)求二面角A-PC-D的正弦值;
(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长。
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一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成,点A、B、C在圆柱上底面圆O的圆周上,EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,其正视图、侧视图如图所示
(1)求证:AC⊥BD;
(2)求锐二面角A﹣BD﹣C的大小.
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如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE= AD=1.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(2)求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.  
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如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别为AD1、BD的中点.
(1)求证:EF∥平面B1D1C;
(2)求二面角B1﹣D1C﹣A的大小;
(3)求三棱锥B1﹣ACD1的体积.
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如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别为AD1、BD的中点.
(1)求证:EF∥平面B1D1C;
(2)求二面角B1﹣D1C﹣A的大小;
(3)求三棱锥B1﹣ACD1的体积
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