正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a．求：（1）二面角A﹣BD﹣A1的正切值；（2）AA1与平面A1BD所成的角的余弦值．
题型：湖南省月考题难度：来源：
（1）二面角A﹣BD﹣A1的正切值；
（2）AA1与平面A1BD所成的角的余弦值．
答案
解：（1）连接AC，AC∩BD=O，
连接A1O，则∠A1OA为二面角A﹣BD﹣A1的平面角
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，
∴AO=
a
∴tan∠A1OA=
；
（2）过A作AE⊥A1O，垂足为E，
∵AE⊥BD，A1O∩BD=O，
∴AE⊥平面A1BD
∴∠AA1O为AA1与平面A1BD所成的角
∵A1A=a，AO=
a
∴A1O=
a
∴AA1与平面A1BD所成的角的余弦值为
．
连接A1O，则∠A1OA为二面角A﹣BD﹣A1的平面角
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，
∴AO=
a∴tan∠A1OA=
；（2）过A作AE⊥A1O，垂足为E，
∵AE⊥BD，A1O∩BD=O，
∴AE⊥平面A1BD
∴∠AA1O为AA1与平面A1BD所成的角
∵A1A=a，AO=
a∴A1O=
a∴AA1与平面A1BD所成的角的余弦值为
．
举一反三
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求二面角F﹣AE﹣C的大小．
（1）求异面直线PD一AE所成角的大小；
（2）求证：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角F﹣PC﹣B的大小．
（Ⅰ）求证：CD=C1D；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．
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