如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。  （1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O-AC-O

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2。

 

（1）证明：AC⊥BO₁；
（2）求二面角O-AC-O₁的大小。

答案

解：（1）由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB
从而AO⊥平面OBCO₁，
OC是AC在面OBCO₁内的射影
因为，
所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，
从而OC⊥BO₁
由三垂线定理得AC⊥BO₁。（2）由（1）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC
设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F（如图），
则EF是O₁F在平面AOC 内的射影，
由三垂线定理得O₁F⊥AC
所以∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角
由题设知OA=3，OO₁=，O₁C=1，
所以
从而
又O₁E=OO₁·sin30°=，
所以
即二面角O-AC-O₁的大小是。