如图，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h。
（1）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角正切值；
（2）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算，已知它的体积公式是 （S_上底面+4S_中截面+S_下底面），试判断V_估与V的大小关系，并加以证明。

答案

解：（1）解：过B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B₁作B₁G⊥PQ，垂足为G
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，
∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P
∴∠B₁PG为所求二面角的平面角
过C₁作C₁H⊥PQ，垂足为H
由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B₁PQC₁为等腰梯形
，又
∴，
即所求二面角的正切值为。（2）V_估＜V
证明： ∵a＞c，b＞d，
∴
 
∴V_估＜V。