解:(1)∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF 又∵截面DEF∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体。 | |
(2)取BC的中点M,连接PM,DM,AM ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM, 则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角 由(1)知,P-ABC的各棱长均为1, ∴PM=AM=,由D是PA的中点,得 sin∠DMA=, ∴∠DMA=arcsin。 | |
(3)存在满足条件的直平行六面体 棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V 设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6,体积为sinα=V ∵正四面体P-ABC的体积是, ∴0<V<,0<8V<1 可知α=arcsim(8V) 故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求。 | |