如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M， (Ⅰ)求证

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如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M，
(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；
(Ⅱ)求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小。

答案

解：(Ⅰ)如图，连结CA₁、AC₁、CM，
则CA₁=，
∵CB=CA₁=，
∴△CBA₁为等腰三角形，
又知D为其底边A₁B的中点，
∴CD⊥A₁B，
∵A₁C₁=1，C₁B₁=，
∴A₁B₁=，
又BB₁=1，
∴A₁B=2，
∵△A₁CB为直角三角形，D为A₁B的中点，
CD=A₁B=1，CD=CC₁，
又DM=，DM=C₁M，
∴△CDN≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°，
即CD⊥DM，
因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM。(Ⅱ)设F、G分别为BC、BD的中点，
连结B₁G、FG、B₁F，
则FG∥CD，FG=CD，
∴FG=，FG⊥BD，
由侧面矩形BB₁A₁A的对角线的交点为D，
知BD=B₁D=A₁B=1，
所以△BB₁D是边长为1的正三角形，
于是B₁G⊥BD，B₁G=，
∴∠B₁GF是所求二面角的平面角，
又B₁F²=B₁B²+BF²=，
∴cos∠B₁GF=，
即所求二面角的大小为π-arccos。