已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).(Ⅰ)若点F到直线l的距离为3,求直线l的斜率;(Ⅱ)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段
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已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).(Ⅰ)若点F到直线l的距离为3,求直线l的斜率;(Ⅱ)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段
题型:西城区一模
难度:
来源:
已知抛物线y
2
=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(Ⅰ)若点F到直线l的距离为
3
,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.
答案
(Ⅰ)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),
由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),…(1分)
因为点F到直线l的距离为
3
,
所以
|3k|
1+
k
2
=
3
,…(3分)
解得
k=±
2
2
,所以直线l的斜率为
±
2
2
.…(5分)
(Ⅱ)设线段AB中点的坐标为N(x
0
,y
0
),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
因为AB不垂直于x轴,
则直线MN的斜率为
y
0
x
0
-4
,
直线AB的斜率为
4-
x
0
y
0
,…(7分)
直线AB的方程为
y-
y
0
=
4-
x
0
y
0
(x-
x
0
)
,…(8分)
联立方程
y-
y
0
=
4-
x
0
y
0
(x-
x
0
)
y
2
=4x
消去x得
(1-
x
0
4
)
y
2
-
y
0
y+
y
20
+
x
0
(
x
0
-4)=0
,…(10分)
所以
y
1
+
y
2
=
4
y
0
4-
x
0
,…(11分)
因为N为AB中点,
所以
y
1
+
y
2
2
=
y
0
,即
2
y
0
4-
x
0
=
y
0
,…(13分)
所以x
0
=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(14分)
举一反三
经过A(1,3)、B(0,5)两点的直线的斜率是( )
A.2
B.
1
2
C.-2
D.-
1
2
题型:不详
难度:
|
查看答案
直线
y=-
3
x+1
的倾斜角大小为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
一条直线的倾斜角是
5π
6
,则该直线的斜率是( )
A.
3
B.
-
3
C.
3
3
D.
-
3
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
直线xcosα+y+b=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π)
B.
[
π
4
,
π
2
)∪(
π
2
,
3
4
π]
C.
[
π
4
,
3π
4
]
D.
[0,
π
4
]∪[
3
4
π,π)
题型:不详
难度:
|
查看答案
若椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为( )
A.
-
1
2
B.
1
2
C.2
D.-2
题型:不详
难度:
|
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