设椭圆C:x2a2+y22=1(a>0)的左右焦点分别为F1、F2A是椭圆C上的一点,且AF2.F1F2=0,坐标原点O到直线AF1的距离为13|OF1|.(1

设椭圆C:x2a2+y22=1(a>0)的左右焦点分别为F1、F2A是椭圆C上的一点,且AF2.F1F2=0,坐标原点O到直线AF1的距离为13|OF1|.(1

题型:普宁市模拟难度:来源:
设椭圆C:
x2
a2
+
y2
2
=1(a>0)
的左右焦点分别为F1、F2A是椭圆C上的一点,且


AF2


F1F2
=0
,坐标原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|

(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q是椭圆C上的一点,过点Q的直线l交x轴于点F(-1,0),交y轴于点M,若|MQ|=2|QF|,求直线l的斜率.
答案
(1)由题设知F1(-


a2-2
,0),F2


a2-2
,0),其中a>


2

由于


AF2


F1F2
=0
,则有


AF2


F1F2
,所以点A的坐标为(


a2-2
±
2
a

故AF1所在直线方程为y=±(
x
a


a2-2
),所以坐标原点O到直线AF1的距离为


a2-2
a2-1

又|OF1|=


a2-2
,所以


a2-2
a2-1
=|=
1
3


a2-2
,解得:a=2.
∴所求椭圆的方程为
x2
4
+
y2
2
 =1

(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1),故M(0,k).
设Q(x1,y1),由于Q,F,三点共线,且|MQ|=|2QF|.
根据题意得(x1,y1-k)=±2(x1+1,y1),解得





x1=-2
y1=-k





x1=-
2
3
y1=
k
3

又Q在椭圆C上,故
4
4
+
k2
2
=1
4
9
4
+
(
k
3
)
2
3
=1

解得k=0,k=±4,综上,直线的斜率为0或±4
举一反三
直线





x=1+t
y=1-t
(t为参数)的倾斜角的大小为(  )
A.-
π
4
B.
π
4
C.
π
2
D.
4
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,将点A(


3
,1)
绕原点O逆时针旋转90°到点B,那么点B坐标为______,若直线OB的倾斜角为α,则tan2α=______.
题型:东城区二模难度:| 查看答案
已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).若点M,N到直线l的距离相等,则实数k的值是______;对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,则实数k的取值范围是______.
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
动圆C过定点F(
p
2
,0)
,且与直线x=-
p
2
相切,其中p>0.设圆心C的轨迹Γ的程为F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲线Γ上的一定点P(x0,y0)(y0≠0),方向向量


d
=(y0,-p)
的直线l(不过P点)与曲线Γ交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为kPA,kPB,计算kPA+kPB
(3)曲线Γ上的两个定点P0(x0,y0)、Q0(x0y0),分别过点P0,Q0作倾斜角互补的两条直线P0M,Q0N分别与曲线Γ交于M,N两点,求证直线MN的斜率为定值.
题型:奉贤区二模难度:| 查看答案
设直线l过点(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是(  )
A.±1B.±
1
2
C.±


3
3
D.±


3
题型:安徽难度:| 查看答案
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