已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.(1)若椭圆C上的点A(1,32)到F1,F2的距离之和为4,求椭圆C的方程和焦点
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.(1)若椭圆C上的点A(1,32)到F1,F2的距离之和为4,求椭圆C的方程和焦点
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
(a>b>0)
的左右焦点分别为F
1
,F
2
.
(1)若椭圆C上的点A(1,
3
2
)到F
1
,F
2
的距离之和为4,求椭圆C的方程和焦点的坐标;
(2)若M,N是C上关于(0,0)对称的两点,P是C上任意一点,直线PM,PN的斜率都存在,记为k
PM
,k
PN
,求证:k
PM
与k
PN
之积为定值.
答案
(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F
1
、F
2
两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A(1,
3
2
))在椭圆上,因此
1
a
2
+
(
3
2
)
2
b
2
=1得b
2
=3,于是c
2
=1.所以椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1,焦点F
1
(-1,0),F
2
(1,0).
(2)设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中
m
2
4
+
n
2
3
=1.
又设点P的坐标为(x,y),由k
PM
=
y-n
x-m
,k
PN
=
y+n
x+m
得k
PM
•k
PN
=
y+n
x+m
•
y-n
x-m
=
y
2
-
n
2
x
2
-m
2
将y
2
=3-
3
4
x
2
,n
2
=3-
3
4
m
2
代入得k
PM
•k
PN
=
3
4
故k
PM
与k
PN
之积为定值.
举一反三
过双曲线2x
2
-y
2
=1上一点A(1,1)作两条动弦AB,AC,且直线AB,AC的斜率的乘积为3.
(1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.
(2)证明直线BC过定点.
题型:不详
难度:
|
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求直线3x-2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距.
题型:不详
难度:
|
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圆(x+1)
2
+y
2
=8内有一点P(-1,2),AB过点P,
①若弦长
|AB|=2
7
,求直线AB的倾斜角α3;
②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于
2
,求直线AB的方程.
题型:不详
难度:
|
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若tanα=-2,α是直线y=kx+b的倾斜角,则α=______.(用α的反正切表示)
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=4x,直线l:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)当k=1,且直线l过抛物线C的焦点时,求|AB|的值;
(2)当直线OA,OB的倾斜角之和为45°时,求k,b之间满足的关系式,并证明直线l过定点.
题型:不详
难度:
|
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