已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点.(1)当k=1,且直线l过抛物线C的焦点时,求|AB|的值;(2)当直线OA,O
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已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点. (1)当k=1,且直线l过抛物线C的焦点时,求|AB|的值; (2)当直线OA,OB的倾斜角之和为45°时,求k,b之间满足的关系式,并证明直线l过定点. |
答案
(1)抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0) 由已知l:y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,消y得x2-6x+1=0, 所以x1+x2=6,x1x2=1 |AB|====8
(2)联立,消x得ky2-4y+4b=0(*)(依题意k≠0) y1+y2=,y1y2=, 设直线OA,OB的倾斜角分别为α,β,斜率分别为k1,k2, 则α+β=45°,tan(α+β)=tan45°,=1 其中k1==,k2=, 代入上式整理得y1y2-16=4(y1+y2) 所以-16=,即b=4k+4, 此时,使(*)式有解的k,b有无数组 直线l的方程为y=kx+4k+4,整理得k(x+4)=y-4 消去,即时k(x+4)=y-4恒成立, 所以直线l过定点(-4,4) |
举一反三
直线x+ycosα+1=0的倾斜角θ的取值范围为______. |
直线x-y+a=0(a∈R,a为常数)的倾斜角是______. |
已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y+2=0平行,则tan2α的值为( ) |
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