已知椭圆x24+y22=1的两焦点分别为F1,F2,P是椭圆在第一象限内的一点,并满足PF1•PF2=1,过P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交椭圆于A,B
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已知椭圆x24+y22=1的两焦点分别为F1,F2,P是椭圆在第一象限内的一点,并满足PF1•PF2=1,过P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交椭圆于A,B
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1
的两焦点分别为F
1
,F
2
,P是椭圆在第一象限内的一点,并满足
P
F
1
•
P
F
2
=1
,过P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ)求P点坐标;
(Ⅱ)当直线PA经过点(1,
2
)时,求直线AB的方程;
(Ⅲ)求证直线AB的斜率为定值.
答案
(I)由椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1
可得c=
2
,∴两焦点分别为
F
1
(-
2
,0)
,
F
2
(
2
,0)
.
设P((x,y),由题意可得
x
2
4
+
y
2
2
=1
(-
2
-x,-y)•(
2
-x,-y)=1
x>0,y>0
,解得
x=
2
y=1
,∴P
(
2
,1)
.
(II)∵
k
PA
=
1-
2
2
-1
=-1
,两条直线PA,PB倾斜角互补,
∴k
PA
+k
PB
=0,解得k
PB
=1.
因此直线PA,PB,的方程分别为
y-1=-(x-
2
)
,
y-1=x-
2
,
化为
x+y-
2
-1=0
,
x-y-
2
+1=0
.
联立
x+y-
2
-1=0
x
2
+2
y
2
=4
,解得
x=
2
y=1
(舍去),
x=
2
+4
3
y=
2
2
-1
3
,即A
(
2
+4
3
,
2
2
-1
3
)
.
同理解得B
(
2
-4
3
,-
1+2
2
3
)
.
∴k
AB
=
-
1+2
2
3
-
2
2
-1
3
2
-4
3
-
2
+4
3
=
2
2
,∴直线AB的方程为
y-
2
2
-1
3
=
2
2
(x-
2
+4
3
)
,化为
3
2
x-6y-4=0
.
(III)S设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
设直线PA的方程为:
y-1=k(x-
2
)
,则直线PB的方程为
y-1=-k(x-
2
)
.
联立
y-1=k(x-
2
)
x
2
+2
y
2
=4
,解得A
(
2
2
k
2
-4k-
2
1+2
k
2
,
-2
k
2
-2
2
k+1
1+2
k
2
)
.
同理B
(
2
2
k
2
+4k-
2
1+2
k
2
,
-2
k
2
+2
2
k+1
1+2
k
2
)
,
∴k
AB
=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
=
4
2
k
8k
=
2
2
.
即直线AB的斜率为定值
2
2
.
举一反三
过点P(-1,2),倾斜角为60°的直线方程为Ax-y+C=0,则C=______.
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=kx与圆
x=4+2cost
y=2sint
(t为参数)相切,则直线的倾斜角为( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
3
或
2π
3
D.
π
6
或
5π
6
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的对称轴上的定点M(m,0)(m>0),作直线AB与抛物线相交于A、B两点.
(Ⅰ)试证明A、B两点的纵坐标之积为定值;
(Ⅱ)若点N(-m,2m),求直线AN、BN的斜率之和.
题型:不详
难度:
|
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(坐标系与参数方程选做题)若P(2,-1)为曲线
x=1+5cosθ
y=5sinθ
(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线的倾斜角为______.
题型:不详
难度:
|
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设有抛物线C:y=-x
2
+
9
2
x-4,通过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.
(1)求k的值;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
题型:不详
难度:
|
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