过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的定点M(m,0)(m>0),作直线AB与抛物线相交于A、B两点.(Ⅰ)试证明A、B两点的纵坐标之积为定值;(Ⅱ)若点N
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过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的定点M(m,0)(m>0),作直线AB与抛物线相交于A、B两点.(Ⅰ)试证明A、B两点的纵坐标之积为定值;(Ⅱ)若点N
题型:不详
难度:
来源:
过抛物线y
2
=2px(p>0)的对称轴上的定点M(m,0)(m>0),作直线AB与抛物线相交于A、B两点.
(Ⅰ)试证明A、B两点的纵坐标之积为定值;
(Ⅱ)若点N(-m,2m),求直线AN、BN的斜率之和.
答案
(1)证明:由题意设直线AB的方程为x=ty+m,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
x=ty+m
y
2
=2px
消x得:y
2
-2pty-2pm=0 ①
∴y
1
y
2
=-2pm为定值.
(2)设直线AN,BN的斜率分别为k
1
k
2
,
则
k
1
=
y
1
-2m
x
1
+m
,
k
2
=
y
2
-2m
x
2
+m
又
x=
y
2
2p
,2pm=-y
1
y
2
,且y
1
≠y
2
,
所以k
1
+k
2
=
y
1
-2m
y
21
2p
+m
+
y
2
-2m
y
22
2p
+m
=2p(
y
1
-2m
y
21
+2pm
+
y
2
-2m
y
22
+2pm
)
=2p(
y
1
-2m
y
21
-
y
1
y
2
+
y
2
-2m
y
22
-
y
1
y
2
)
=2p
•
y
1
y
2
-2
y
2
m-
y
1
y
2
+2
y
1
m
y
1
y
2
(
y
1
-
y
2
)
=
4pm
y
1
y
2
=-2.
即直线AN,BN的斜率和为-2为所求.
举一反三
(坐标系与参数方程选做题)若P(2,-1)为曲线
x=1+5cosθ
y=5sinθ
(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线的倾斜角为______.
题型:不详
难度:
|
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设有抛物线C:y=-x
2
+
9
2
x-4,通过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.
(1)求k的值;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
题型:不详
难度:
|
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若直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°,则a的值是______.
题型:不详
难度:
|
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将直线y=-5x+15绕着它与x轴的交点按逆时针方向旋转θ角后,恰好与圆x
2
+y
2
+4x+2y-8=0相切,求旋转角θ的最小值.
题型:不详
难度:
|
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过点
(1,
2
)
的直线l将圆(x-2)
2
+y
2
=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=______.
题型:甘肃一模
难度:
|
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